Question

一動(dòng)圓被兩直線3x+y=0，3x-y=0截得的弦長(zhǎng)分別為8和4，則動(dòng)圓圓心P的軌跡方程為

xy=10

．

Answer 1

分析：設(shè)出動(dòng)圓圓心P的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，由截得的弦長(zhǎng)求出AB及CE的長(zhǎng)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出PA²及PC²，在直角三角形PAB及直角三角形PCE中，再利用勾股定理得到關(guān)系式，將表示出各自的式子代入，整理后即可得出x與y的關(guān)系式，即為動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

解答：解：如圖所示，設(shè)點(diǎn)P（x，y），

由條件可得，AB=4，EC=2，
由點(diǎn)到直線的距離公式可得，PA²=

(3x-y)2

10

，PC²=

(3x+y)2

10

由勾股定理可得，PA²+AB²=PC²+EC²，
∴

(3x-y)2

10

+16=

(3x+y)2

10

+4，化簡(jiǎn)可得，xy=10．
∴點(diǎn)P的軌跡方程為xy=10．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點(diǎn)，然后由弦長(zhǎng)的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來(lái)解決問(wèn)題．