【題目】梯形中,,,,,過點(diǎn)作,交于(如圖1).現(xiàn)沿將折起,使得,得四棱錐(如圖2).
(1)求證:平面平面;
(2)若為的中點(diǎn),求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析 (2)
【解析】
(1)在中,求解三角形可得,又,得到四邊形為平行四邊形,進(jìn)一步得到平行四邊形為菱形,則,再由,得平面,從而得到平面平面;
(2)由平面,得到,再由,得平面,設(shè),可得,分別為,的中點(diǎn),則,得到平面,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面與平面的一個法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值.
解:(1)在中,∵,,∴,又,∴,
又,∴四邊形為平行四邊形.
∵,∴平行四邊形為菱形,∴,
又,平面,,
∴平面.
又∵平面,∴.平面平面.
(2)∵平面,平面,∴,
又,平面,,∴平面,
設(shè),∵,分別為,的中點(diǎn),∴,∴平面,
由(Ⅰ)得,以為原點(diǎn),建立如圖空間直角坐標(biāo)系.
不妨設(shè),可知,,,,,
設(shè)平面的一個法向量為,則,∴,
令,則,,∴,
易得平面的一個法向量為,
設(shè)二面角的平面角為,則,
即二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),且的圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為.
(1)求的值及單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】邊長為2正方體中,點(diǎn)E在棱CD上.
(1)求證:;
(2)若E是CD中點(diǎn),求與平面所成的角的正弦值;
(3)設(shè)M在棱上,且,是否存在點(diǎn)E,使平面⊥平面,若存在,指出點(diǎn)E的位置,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一批產(chǎn)品共10件,其中3件是不合格品,用下列兩種不同方式從中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品檢驗(yàn):
方法一:一次性隨機(jī)抽取2件;
方法二:先隨機(jī)抽取1件,放回后再隨機(jī)抽取1件.
記方法一抽取的不合格產(chǎn)品數(shù)為.記方法二抽取的不合格產(chǎn)品數(shù)為.
(1)求兩種抽取方式下,的概率分布列;
(2)比較兩種抽取方式抽到的不合格品平均數(shù)的大?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求的圖象在處的切線方程;
(2)當(dāng)時,求證:在上有唯一零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列四個結(jié)論中正確的個數(shù)是
(1)對于命題使得,則都有;
(2)已知,則
(3)已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是2,樣本點(diǎn)的中心為(4,5),則回歸直線方程為;
(4)“”是“”的充分不必要條件.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年春節(jié)期間,某超市準(zhǔn)備舉辦一次有獎促銷活動,若顧客一次消費(fèi)達(dá)到400元則可參加一次抽獎活動,超市設(shè)計(jì)了兩種抽獎方案.
方案一:一個不透明的盒子中裝有30個質(zhì)地均勻且大小相同的小球,其中10個紅球,20個白球,攪拌均勻后,顧客從中隨機(jī)抽取一個球,若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券,若抽到白球則獲得20元的返金券,且顧客有放回地抽取3次.
方案二:一個不透明的盒子中裝有30個質(zhì)地均勻且大小相同的小球,其中10個紅球,20個白球,攪拌均勻后,顧客從中隨機(jī)抽取一個球,若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券,若抽到白球則未中獎,且顧客有放回地抽取3次.
(1)現(xiàn)有兩位顧客均獲得抽獎機(jī)會,且都按方案一抽獎,試求這兩位顧客均獲得180元返金券的概率;
(2)若某顧客獲得抽獎機(jī)會.
①試分別計(jì)算他選擇兩種抽獎方案最終獲得返金券的數(shù)學(xué)期望;
②為了吸引顧客消費(fèi),讓顧客獲得更多金額的返金券,該超市應(yīng)選擇哪一種抽獎方案進(jìn)行促銷活動?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖如示的多面體中,平面平面,四邊形是邊長為的正方形, ∥,且.
(1)若分別是中點(diǎn),求證: ∥平面
(2)求此多面體的體積
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在梯形中,,,,四邊形為矩形,平面平面,.
(1)證明:平面;
(2)設(shè)點(diǎn)在線段上運(yùn)動,平面與平面所成銳二面角為,求的取值范圍.
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