Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，1]，且同時(shí)滿足①f（1）=3；②f（x）≥2恒成立，③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2．
（1）試求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（2）試比較f（）與+2（n∈N）的大小．

Answer 1

解：（1）設(shè)0≤x₁＜x₂≤1，則必存在實(shí)數(shù)t∈（0，1），使得x₂=x₁+t，
由條件③得，f（x₂）=f（x₁+t）≥f（x₁）+f（t）-2，
∴f（x₂）-f（x₁）≥f（t）-2，
由條件②得，f（x₂）-f（x₁）≥0，
故當(dāng)0≤x≤1時(shí)，有f（0）≤f（x）≤f（1）．
又在條件③中，令x₁=0，x₂=1，得f（1）≥f（1）+f（0）-2，
即f（0）≤2，∴f（0）=2，
故函數(shù)f（x）的最大值為3，最小值為2．
（2）在條件③中，令，得，
即，
故當(dāng)n∈N*時(shí)，有…，
即．
又，
所以對一切n∈N，都有．
分析：（1）（Ⅰ）對于抽象函數(shù)的最值問題，可考慮此函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）由題中條件：f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2，令，得，利用它進(jìn)行放縮，可證得答案．
點(diǎn)評：本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)，抽象函數(shù)是相對于給出具體解析式的函數(shù)來說的，它雖然沒有具體的表達(dá)式，但是有一定的對應(yīng)法則，滿足一定的性質(zhì)，這種對應(yīng)法則及函數(shù)的相應(yīng)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．抽象函數(shù)的抽象性賦予它豐富的內(nèi)涵和多變的思維價(jià)值，可以考查類比猜測，合情推理的探究能力和創(chuàng)新精神．