Question

等差數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為1，公差為2，數(shù)列{a_n}與{b_n}且滿足關(guān)系式bn=

a1+2a2+3a3+…+nan

1+2+3+…+n

（n∈N^*），奇函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)=-

qx

qx+p-1

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若q＞0，且

lim

n→∞

f(an)=0，求證p+q＞2．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義易得f（0）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，據(jù) f（x）=-f（-x）求出解析式，即得f（x）在R上的解析式．
（2）根據(jù)條件求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式 b_n=2n-1，把

n(n+1)

2

bn=a1+2a2+3a3+…+nan 和

(n-1)n

2

bn-1=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1相減可得a_n=3n-2．
（3）根據(jù)f（x） 的定義域?yàn)镽，所以p-1≥0，即p≥1； 由于a_n＞0，及

lim

n→∞

f(an)=0，可得 q³＞1，即q＞1，從而得到 p+q＞2．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=-f（-0），所以f（0）=0，
當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=-f(-x)=

qx

q-x+p-1

=

1

(p-1)•qx+1

，
所以，f（x）=

- qx qx+p-1       x＜0 0                    x=0 1 (p-1)•qx+1     x＞0

．
（2）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=b₁=1；由題意可得 b_n=1+（n-1）2=2n-1．
當(dāng)n≥2時(shí)，由于

n(n+1)

2

bn=a1+2a2+3a3+…+nan，
所以

(n-1)n

2

bn-1=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1，
相減計(jì)算得a_n=3n-2，
檢驗(yàn)得a_n=3n-2（n∈N^*）．
（3）由于f（x）=

- qx qx+p-1      x＜0 0                    x=0 1 (p-1)•qx+1    x＞0

 的定義域?yàn)镽，所以p-1≥0即p≥1；
由于a_n＞0，
所以

lim

n→∞

f(an) =

lim

n→∞

1

(p-1)•q-2 (q3)n+1

=

1         0＜q3＜1 1 p      q3 =1 0         q3＞1

．

由于

lim

n→∞

f(an)=0，所以q³＞1，即q＞1，因此，p+q＞2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列極限的運(yùn)算法則，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．