Question

已知數列{a_n}、{b_n}、{c_n}的通項滿足b_n＝a_n+1－a_n，c_n＝b_n+1－b_n(n∈N*)，若數列{b_n}是一個非零常數列，則稱數列{a_n}是一階等差數列；若數列{c_n}是一個非零常數列，則稱數列{a_n}是二階等差數列．

(Ⅰ)試寫出滿足條件a₁＝1、b₁＝1、c_n＝1的二階等差數列{a_n}的前五項；

(Ⅱ)求滿足條件(1)的二階等差數列{a_n}的通項公式a_n；

(Ⅲ)若數列{a_n}首項a₁＝2，且滿足c_n－b_n+1＋3a_n＝－2ⁿ⁺¹(n∈N*)，求數列{a_n}的通項公式a_n．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)，，，，　　4分 　　(Ⅱ)依題意　 　　所以 　　 　　　　6分 　　又　　 　　所以 　　 　　　8分 　　(Ⅲ)由已知，可得 　　， 　　即　， 　　∴　10分 　　解法一：整理得：，　12分 　　因而數列是首項為，公比為4的等比數列， 　　∴， 　　即　　　14分 　　解法二：在等式兩邊同時除以得： 　　　11分 　　令，則，即． 　　故數列是首項為，公比為的等比數列．　12分 　　所以，即 　　∴　14分 　　解法三：∵， 　　∴，， 　　猜想：　12分 　　下面用數學歸納法證明如下： 　　(Ⅰ)當時，，猜想成立； 　　(Ⅱ)假設時，猜想成立，即 　　那么當時， 　　，結論也成立 　　∴由(Ⅰ)、(Ⅱ)可知，　14分