Question

（2007•長(zhǎng)寧區(qū)一模）已知向量

a

=(sinx，1)，

b

=(1，sin(x+

π

2

))，設(shè)f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間及最小正周期．
（2）若f(α)=

3

4

，求sin2α的值．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算求出

a

•

b

整理得到f（x）解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；最后求其最小正周期；
（2）直接根據(jù)f(α)=

3

4

，即sinα+cosα=

3

4

兩邊平方并整理即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）f(x)=sinx+sin(x+

π

2

)=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)（4分）
由2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

得2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

(k∈Z)，
∴單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

](k∈Z)（3分）
最小正周期為2π．                                          （2分）
（2）由sinα+cosα=

3

4

得(sinα+cosα)2=1+sin2α=

9

16

，
∴sin2α=-

7

16

．                                          （3分）

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)向量知識(shí)和三角知識(shí)的綜合考查．解決本題的關(guān)鍵在于對(duì)公式的熟練掌握以及靈活運(yùn)用．