Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=2^x-2^-x有下列三個結(jié)論；①函數(shù)f（x）的值域為R；②函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)；③對任意的x∈R都有f（x）+f（-x）=0成立．其中正確命題的序號是

①②③

．

Answer 1

分析：令t=2^x，則t＞0，則y=t-

1

t

（，t＞0），利用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)y=t+

1

t

在（0，+∞）上的單調(diào)性；結(jié)合函數(shù)在R上單調(diào)遞增可得當(dāng)t=1時，y=0，當(dāng)t＞1時，y＞0，0＜t＜1，y＜0，即函數(shù)的值域為R；f（x）+f（-x）=2^x-2^-x+2^-x-2^x=0，

解答：解：令t=2^x，則t＞0，則y=t-

1

t

（，t＞0），y′=1+

1

t2

＞0在（0，+∞）上恒成立，即函數(shù)y=t+

1

t

在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故②正確
結(jié)合函數(shù)在R上單調(diào)遞增可得：當(dāng)t=1時，y=0，當(dāng)t＞1時，y＞0，0＜t＜1，y＜0，即函數(shù)的值域為R，故①正確
∵f（x）+f（-x）=2^x-2^-x+2^-x-2^x=0，故③正確
故答案為①②③

點評：本題主要考查了形如y=x-

1

x

的函數(shù)的單調(diào)性、值域、奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)試題