Question

1．某校設計了一個實驗考察方案：考生從6道備選題中隨機抽取3道題，按照題目要求獨立完成全部實驗操作，規(guī)定：至少正確完成其中的2道題便可通過．己知6道備選題中考生甲有4道能正確完成，2道題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是$\frac{2}{3}$，且每題正確完成與否互不影響．
（I） 求甲考生通過的概率；
（II） 求甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列，和甲、乙兩考生的數(shù)學期望；
（Ⅲ）請分析比較甲、乙兩考生的實驗操作能力．

Answer 1

分析 （Ⅰ）考生甲要通過實驗考查，必須正確完成至少2道，利用對立事件概率計算公式能求出甲考生通過的概率．
（Ⅱ）確定考生甲正確完成實驗操作的題目個數(shù)的取值，求出相應的概率，可得考生甲正確完成題目個數(shù)ξ的分布列和數(shù)學期望；乙兩考生正確完成題數(shù)Y的可能取值為0，1，2，3，且Y～B（3，$\frac{2}{3}$），由此能求出考生乙正確完成題目個數(shù)ξ的分布列和數(shù)學期望．
（Ⅲ）設考生乙正確完成實驗操作的題目個數(shù)為η，求出相應的期望與方差，比較，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵考生從6道備選題中隨機抽取3道題，按照題目要求獨立完成全部實驗操作，
規(guī)定：至少正確完成其中的2道題便可通過．
己知6道備選題中考生甲有4道能正確完成，2道題不能完成，
∴甲考生通過的概率P=1-$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{4}{5}$．
（Ⅱ）由題意知甲考生正確完成題數(shù)X的可能取值為1，2，3，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{0}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
∴X的可能取值為：

X	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

EX=$1×\frac{1}{5}$+2×$\frac{3}{5}$+3×$\frac{3}{5}$=$\frac{16}{5}$．
乙兩考生正確完成題數(shù)Y的可能取值為0，1，2，3，
P（Y=0）=${C}_{3}^{0}$（$\frac{1}{3}$）³=$\frac{1}{27}$，
P（Y=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{6}{27}$，
P（Y=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）$=$\frac{12}{27}$，
P（Y=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{8}{27}$，
∴Y的分布列是：

Y	0	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{6}{27}$	$\frac{12}{27}$	$\frac{8}{27}$

EY=$0×\frac{1}{27}+1×\frac{6}{27}+2×\frac{12}{27}+3×\frac{8}{27}$=2．
（Ⅲ）DX=（1-2）²×$\frac{1}{5}$+（2-2）²×$\frac{3}{5}$+（3-2）²×$\frac{1}{5}$=$\frac{2}{5}$，
∵Y∽B（3，$\frac{2}{3}$），∴DY=3×$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$
∴DX＜DY，
∵P（X≥2）=$\frac{3}{5}+\frac{1}{5}=0.8$，P（Y≥2）=$\frac{12}{27}+\frac{8}{27}$≈0.74
∴P（X≥2）＞P（Y≥2）
①從做對題數(shù)的數(shù)學期望考查，兩人水平相當；從做對題數(shù)的方差考查，甲較穩(wěn)定；
②從至少完成2題的概率考查，甲獲得通過的可能性大，
因此，可以判斷甲的實驗操作能力強．

點評 本題考查隨機變量的分布列和數(shù)學期望，考查概率知識 的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．