Question

15．已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當x∈[-2，4]時，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 91）要求二次函數(shù)的解析式，利用直接設解析式的方法，一定要注意二次項系數(shù)不等于零，在解答的過程中使用系數(shù)的對應關系，解方程組求的結果；
（2）f（x）=x²-x+1在∈[-2，$\frac{1}{2}$]上遞減，在[$\frac{1}{2}$，4]遞增，即可求值域．

解答 解：設二次函數(shù)的解析式為f（x）=ax²+bx+c （a≠0）
由f（0）=1得c=1，
故f（x）=ax²+bx+1．
因為f（x+1）-f（x）=2x，
所以a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x．
即2ax+a+b=2x，即2a=2，a+b=0∴a=1，b=-1
所以f（x）=x²-x+1
（2）f（x）=x²-x+1在∈[-2，$\frac{1}{2}$]上遞減，在[$\frac{1}{2}$，4]遞增，
∴f（x）_min=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$，f（x）_max=f（4）=13
∴f（x）的值域為[$\frac{3}{4}$，13]

點評 本題考查二次函數(shù)的解析式的求法，注意運用待定系數(shù)法，考查二次函數(shù)的值域的求法，注意運用函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題．