Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^x-x+1
（1）求函數(shù)y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程．
（2）求函數(shù)y=f（x）在[-2，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f′（2），f（2）的值，求出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=e^x-1，
故f′（2）=e²-1，f（2）=e²-1，
故切線方程是：y-（e²-1）=（e²-1）（x-2），
即：（e²-1）x-y-e²+1=0；
（2））∵f′（x）=e^x-1，令f′（x）=0，
∴e^x-1=0，解得：x=0，
∴f（x）=e^x-x的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，0），增區(qū)間是[0，+∞）；
故f（x）在[-2，0]上單調(diào)遞減，在[0，1]單調(diào)遞增
∴f（x）在x=0處取得極小值，f（0）=2，
而f（-2）=e^-2+3＞f（1）=e，
f（x）在x=-2處取到最大值，
∴f（x）的最大值e^-2+3，最小值2．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應用，求函數(shù)的極值問題，屬于中檔題．