Question

如圖所示，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E、F在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圓O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1
（1）求證：平面DAF⊥平面CBF；
（2）求直線AB與平面CBF所成角的大�。�
（3）當(dāng)AD的長(zhǎng)為何值時(shí)，二面角D-FE-B的大小為60°？

Answer 1

分析：（1）欲證平面DAF⊥平面CBF，先證直線與平面垂直，由題意可得：CB⊥平面ABEF，所以AF⊥CB，又在底面圓中AF⊥BF，所以AF⊥平面CBF，進(jìn)一步易得平面DAF⊥平面CBF
（2）本題的設(shè)問是遞進(jìn)式的，第（1）問是為第（2）問作鋪墊的．根據(jù)（1）的證明，有AF⊥平面CBF，所以FB為AB在平面CBF上的射影，則∠ABF為直線AB與平面CBF所成的角．
（3）二面角的度量關(guān)鍵在于找出它的平面角，構(gòu)造平面角常用的方法就是三垂線法．由DA⊥平面ABEF可知：過點(diǎn)A作AM⊥EF，交EF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接DM，所以∠DMA為二面角D-FE-B的平面角，∠DMA=60°．

解答：解：（1）證明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，
平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴CB⊥平面ABEF．
∵AF?平面ABEF，∴AF⊥CB，
又∵AB為圓O的直徑，∴AF⊥BF，
∴AF⊥平面CBF．
∵AF?平面DAF，∴平面DAF⊥平面CBF．
（2）根據(jù)（1）的證明，有AF⊥平面CBF，
∴FB為AB在平面CBF上的射影，
因此，∠ABF為直線AB與平面CBF所成的角．
∵AB∥EF，∴四邊形ABEF為等腰梯形，
過點(diǎn)F作FH⊥AB，交AB于H．
AB=2，EF=1，則AH=

AB-EF

2

=

1

2

．
在Rt△AFB中，根據(jù)射影定理AF²=AH•AB，得AF=1，
sin∠ABF=

AF

AB

=

1

2

，∴∠ABF=30°，
∴直線AB與平面CBF所成角的大小為30°．
（3）過點(diǎn)A作AM⊥EF，交EF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接DM．
根據(jù)（1）的證明，DA⊥平面ABEF，則DM⊥EF，
∴∠DMA為二面角D-FE-B的平面角，
即∠DMA=60°．
在Rt△AFH中，∵AH=

1

2

，AF=1，
∴FH=

3

2

．
又∵四邊形AMFH為矩形，∴MA=FH=

3

2

．
∵AD=MA•tan∠DMA=

3

2

•

3

=

3

2

．
因此，當(dāng)AD的長(zhǎng)為

3

2

時(shí)，二面角D-FE-B的大小為60°．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角的度量等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力