Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間
（2）對任意的正整數(shù)n，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求導(dǎo)：，由二次函數(shù)法研究導(dǎo)數(shù)大于零，從而得到單調(diào)增區(qū)間．
（2）當(dāng)b=-1時(shí)，f（x）=x²-ln（x+1），研究函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)性，可得f（e^n-1）＞f（1），代入化簡可得結(jié)論．
解答：解：（1），
若 ，f（x）在定義域區(qū)間（-1，+∞）上單調(diào)增加；
若 ，由f′（x）=0解得 ，，
f（x）在（-1，x₁）上單調(diào)增加，在（x₂，+∞）上單調(diào)增加．
（2）當(dāng)b=-1時(shí)，f（x）=x²-ln（x+1）．當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0
∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增
∵正整數(shù)n∴e^n-1＞1
∴f（e^n-1）＞f（1）即e^2（n-1）-ln（e^n-1+1）≥1-ln（1+1）
∴對任意的正整數(shù)n恒成立．
點(diǎn)評：本題主要考查用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，基本思路是：當(dāng)函數(shù)為增函數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)大于等于零；當(dāng)函數(shù)為減函數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)小于等于零，（2）是數(shù)列不等式，需要關(guān)注兩點(diǎn)，一是構(gòu)造函數(shù)并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性證明數(shù)列不等式，二是根據(jù)解題要求選擇是否分離變量．