Question

若圓C：x²+y²-ax+2y+1=0和圓x²+y²=1關(guān)于直線l₁：x-y-1=0對(duì)稱，動(dòng)圓P與圓C相外切，且與直線l₂：x=-1相切，則動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程是（　�。�

• A、x²+y²+x=0
• B、y²-2x+2y+3=0
• C、y²-6x+2y-2=0
• D、x²+y²+2x+2y=0

Answer 1

分析：由圓的一般式方程求出圓的圓心坐標(biāo)，由兩圓的圓心關(guān)于直線l₁：x-y-1=0對(duì)稱列式求出a的值，再由動(dòng)圓與已知圓外切及與直線x=-1相切，轉(zhuǎn)化為圓心距和半徑的關(guān)系列式得答案．

解答：解：由圓C：x²+y²-ax+2y+1=0，得(x-

a

2

)2+(y+1)2=

a2

4

．
∴圓C的圓心為(

a

2

，-1)，半徑為|

a

2

|．
∵圓C：x²+y²-ax+2y+1=0和圓x²+y²=1關(guān)于直線l₁：x-y-1=0對(duì)稱，
則(

a

2

，-1)與（0，0）關(guān)于直線l₁：x-y-1=0對(duì)稱，
即

-1 a 2 =-1 a 4 + 1 2 -1=0

，解得：a=2．
∴圓C的方程為：（x-1）²+（y+1）²=1．
再設(shè)動(dòng)圓P的圓心坐標(biāo)為（x，y），
∵動(dòng)圓P與圓C相外切，且與直線l₂：x=-1相切，
∴

(x-1)2+(y+1)2

-1=x+1，整理得：y²-6x+2y-2=0．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程的求法，訓(xùn)練了點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的求法，兩圓關(guān)于直線對(duì)稱，實(shí)則是兩圓的圓心關(guān)于直線對(duì)稱，是中檔題．