Question

數(shù)列{b_n}是遞增的等比數(shù)列，且b₁+b₃=5，b₁b₃=4．
（I）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）若a_n=log₂b_n+3，且a₁+a₂+a₃+…+a_m≤42，求m的最大值．

Answer 1

（I）由

b1b3=4 b1+b3=5

知b₁，b₃是方程x²-5x+4=0的兩根，
注意到b_n+1＞b_n得b₁=3，b₃=4
∴b₂²=b₁b₃=4得b₂=2．
∴b₁=1，b₂=2，b₃=4
∴等比數(shù)列{b_n}的公比為

b2

b1

=2，
∴b_n=b₁q^n-1=2^n-1；
（II）a_n=log₂b_n+3=log₂a^n-1+3=n-1+3=n+2，
∵a_n+1-a_n=[（n+1）+2]-[n+2]=1，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列．
a₁+a₂+a₂+…+a_m=m×3+

m(m-1)

2

×1=3m+

m2-m

2

≤42
整理得m²+5m-84≤0，解得-12≤m≤7，
∴m的最大值是7．