Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=2．
（1）求證：SA⊥CD；
（2）求異面直線SB與CD所成角的大�。�

Answer 1

分析：（1）由線面垂直的性質(zhì)可得CD⊥SD，結(jié)合正方形的性質(zhì)可得CD⊥AD，可判CD⊥平面SDA，可得結(jié)論；
（2）可得∠SBA或其補(bǔ)角是異面直線SB與CD所成角，在直角△SAB中可得tan∠SBA的值，由反三角函數(shù)可得．

解答：解：（1）∵SD⊥平面ABCD，CD⊆平面ABCD，∴CD⊥SD，
又∵四邊形ABCD是正方形，∴CD⊥AD，
又SD∩AD=D，∴CD⊥平面SDA，
又∵SA⊆平面SDA，∴SA⊥CD
（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB‖CD，
∴∠SBA或其補(bǔ)角是異面直線SB與CD所成角，
由（1）知BA⊥平面SDA，∴△SAB是直角三角形
∴tan∠SBA=

SA

AD

=

2 2

2

=

2

，
∴∠SBA=arctan

2

，
故異面直線SB與CD所成角的大小為arctan

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成的角，涉及線面垂直的判定定理和反三角函數(shù)的應(yīng)用，屬中檔題．