【題目】如圖所示的多面體中，四邊形是邊長為2的正方形，平面.

(1)設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為O，求證:平面；

(2)求二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；(2) ．

【解析】

（1）根據(jù)題意，推導(dǎo)出面，，，結(jié)合線面垂直的判定定理證得面；

（2）以為原點(diǎn)，，，方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用面的法向量所成角的余弦值求得二面角的余弦值，之后應(yīng)用平方關(guān)系求得正弦值，得到結(jié)果.

(1) 證明：由題意可知：面，

從而，，又為中點(diǎn)，

，在中，，

，又，

面．

（2）面，且，

如圖以為原點(diǎn)，，，方向建立空間直角坐標(biāo)系，

從而，0，，，0，，，2，，，2，，，1，

由（1）可知，1，是面的一個(gè)法向量，

設(shè)，，為面的一個(gè)法向量，

由，令得，，，

設(shè)為二面角的平面角，

則，．

二面角的正弦值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在三棱錐中，，分別是線段，的中點(diǎn)，底面是正三角形，延長到點(diǎn)，使得.

（1）為線段上確定一點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，求的值；

（2）當(dāng)平面，且時(shí)，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為．

（1）求曲線C1的極坐標(biāo)方程以及曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線l：y＝kx與曲線C1、曲線C2在第一象限交于P、Q，且|OQ|＝|PQ|，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（1，0），求△PMQ的面積．

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【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：過點(diǎn)，且橢圓的離心率為，直線：與橢圓相交于、兩點(diǎn)，線段的中垂線交橢圓于、兩點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求線段長的最大值；

（3）求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1，求實(shí)數(shù)a的值；

（2）當(dāng)時(shí)，求證：；

（3）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖（1），在矩形中，，在邊上，．沿，將和折起，使平面和平面都與平面垂直，如圖（2）．

（1）試判斷圖（2）中直線與的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）求平面和平面所成銳角二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率是，上頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）問是否存在斜率為1的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，，的重心分別為，且以線段直徑的圓過原點(diǎn)，若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，矩形中， ， ， 在邊上，且，將沿折到的位置，使得平面平面.

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線的準(zhǔn)線相切.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，若的面積為6，求直線的方程.

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