Question

對(duì)于二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，有下列命題：
①若f（p）=f（q）（p≠q），則f（p+q）=c；
②若f（p）=q，f（q）=p，（p≠q），則f（p+q）=-（p+q）；
③若f（p+q）=c（p≠q），則p+q=0或f（p）=f（q）．
其中一定正確的命題是

①③

．（寫出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：①若f（p）=f（q）（p≠q），說(shuō)明對(duì)稱軸為x=

p+q

2

則f（p+q）=f（0）=c
②說(shuō)明對(duì)稱軸為x=

p+q

2

則f（p+q）=f（0）=c

解答：解：①若f（p）=f（q）（p≠q），則說(shuō)明對(duì)稱軸為x=

p+q

2

則f（p+q）=f（0）=c，①正確
②若f（p）=q，f（q）=p，即

ap2+bp+c=q① aq2+bq+c=p②

①-②并整理得出a（p+q）+b+1=0
f（p+q）=a（p+q）²+b（p+q）+c=（p+q）[a（p+q）+b]+c=）=-（p+q）+c；當(dāng)且僅當(dāng)c=0時(shí)f（p+q）=-（p+q）；②錯(cuò)誤
③若f（p+q）=c（p≠q），即a（p+q）²+b（p+q）+c=c，整理（p+q）[a（p+q）+b]=0，所以p+q=0
或a（p+q）+b=0，此時(shí)p+q=-

b

a

，對(duì)稱軸為x=

p+q

2

所以f（p）=f（q）． ③正確
綜上所述一定正確的命題是①③
故答案為：①③

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的對(duì)稱性．二次函數(shù)的對(duì)稱性主要研究的是，到對(duì)稱軸距離相等的點(diǎn)對(duì)應(yīng)函數(shù)值相等，反之也成立．