Question

甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球單打比賽，比賽規(guī)則為：七局四勝制，每場比賽均不出現(xiàn)平局．假設(shè)兩人在每場比賽中獲勝的概率都為

1

2

．
（1）求需要比賽場數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望ξ；
（2）如果比賽場館是租借的，場地租金100元，而且每賽一場追加服務(wù)費32元，那么舉行一次這樣的比賽，預(yù)計平均花費多少元？

Answer 1

考點：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計

分析：（1）確定ξ的取值，求出相應(yīng)的概率，可得分布列，從而可求數(shù)學(xué)期望；
（2）記“舉行一次這樣的比賽所需費用”為η，則η=32ξ+200，可求平均花費．

解答： 解：（1）根據(jù)題意ξ=4，5，6，7…（1分）
ξ=4表示：比分為4：0或0：4，∴P（ξ=4）=2

C

4 4

•(

1

2

)4=

1

8

，
ξ=5表示：比分為4：1或1：4，∴P（ξ=5）=2

C

3 4

•(

1

2

)5=

1

4

，
ξ=6表示：比分為4：2或2：4，∴P（ξ=6）=2

C

3 5

•(

1

2

)6=

5

16

，
ξ=7表示：比分為4：3或3：4，∴P（ξ=7）=2

C

3 6

•(

1

2

)7=

5

16

，…（6分）
∴需要比賽場數(shù)ξ的分布列為：

ξ	4	5	6	7
P	1 8	1 4	5 16	5 16

∴數(shù)學(xué)期望Eξ=4×

1

8

+5×

1

4

+6×

5

16

+7×

5

16

=

93

16

…（8分）
（2）記“舉行一次這樣的比賽所需費用”為η，則η=32ξ+200
∴Eη=32Eξ+200=386（元）
則舉行一次這樣的比賽，預(yù)計平均花費386元…（13分）

點評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率是關(guān)鍵．