Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax+1在x=1處取得極值，
（1）求a的值；
（2）討論f（x）的單調(diào)性；
（3）證明：當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，$1＜\frac{x-1}{lnx}＜x$．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，根據(jù)函數(shù)f（x）=lnx-ax+1在x=1處取得極值，可得f′（1）=0，解得a．
（2）f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$．分別解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，可得函數(shù)f（x）單調(diào)性．
（3）①當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，令lnx-（x-1）=g（x），由（2）可得：g（x）在x∈（1，+∞）上單調(diào)遞減，即可證明1$＜\frac{x-1}{lnx}$．
②當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，要證明：$\frac{x-1}{lnx}$＜x，化為：lnx＞1-$\frac{1}{x}$，令$\frac{1}{x}$=t∈（0，1），則上述不等式化為：ln$\frac{1}{t}$＞1-t，即lnt+1-t＜0，令h（t）=lnt+1-t，由（2）可知：t∈（0，1）時(shí)，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增，即可證明．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
∵函數(shù)f（x）=lnx-ax+1在x=1處取得極值，
∴f′（1）=1-a=0，解得a=1．
經(jīng)過驗(yàn)證滿足條件，∴a=1．
（2）f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$．
可得：0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；1＜x時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
（3）證明：①當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，令lnx-（x-1）=g（x），
由（2）可得：g（x）在x∈（1，+∞）上單調(diào)遞減，∴g（x）＜g（1）=0，∴l(xiāng)nx＜x-1，又x＞1時(shí)，lnx＞0．
∴1$＜\frac{x-1}{lnx}$．
②當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，要證明：$\frac{x-1}{lnx}$＜x，化為：lnx＞1-$\frac{1}{x}$，
令$\frac{1}{x}$=t∈（0，1），則上述不等式化為：ln$\frac{1}{t}$＞1-t，即lnt+1-t＜0，
令h（t）=lnt+1-t，由（2）可知：t∈（0，1）時(shí)，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增，∴h（t）＜h（1）=0，因此lnt+1-t＜0成立．
即當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，$\frac{x-1}{lnx}$＜x成立．
綜上可得：：當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，$1＜\frac{x-1}{lnx}＜x$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、方程與不等式的解法、分析法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．