Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，BC⊥CD，且BC=2AD．
（1）若點(diǎn)E為線(xiàn)段PC的中點(diǎn)，求證：DE∥平面PAB；
（2）若二面角P-BC-A的大小為

π

4

，求證：平面PAB⊥平面PBC．

Answer 1

分析：（1）取BP得中點(diǎn)F，連接AF、EF，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理結(jié)合直角梯形ABCD的上底AD為下底BC的一半，可證出EF與AD平行且相等，得到四邊形ADEF是平行四邊形，所以ED∥AF，最后根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理，可得DE∥平面PAB．
（2）根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)結(jié)合題中已知條件，證出BC⊥平面PCD，從而得出∠PCD是二面角P-BC-A的平面角，所以等腰Rt△PCD中，斜邊上的中線(xiàn)DE⊥PC，結(jié)合BC⊥DE得到DE⊥平面PBC．再由DE∥AF，得到AF⊥平面PBC，根據(jù)面面垂直的判定定理，得到平面PAB⊥平面PBC．

解答：解：（1）取BP得中點(diǎn)F，連接AF，EF，
∵E為線(xiàn)段PC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線(xiàn)段PB的中點(diǎn)，
∴EF∥BC且EF=

1

2

BC
又∵平面四邊形ABCD中，AD⊥CD，BC⊥CD，且BC=2AD，
∴四邊形ABCD是直角梯形，上底AD為下底BC的

1

2

由此可得，EF∥AD且EF=AD，
∴四邊形ADEF是平行四邊形，可得ED∥AF，
又∵DE?平面PAB，AF?平面PAB，
∴DE∥平面PAB．（5分）
（2）∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC，
又∵CD⊥BC，PD∩CD=D，PD、CD?平面PCD，∴BC⊥平面PCD．
∵PC⊆平面PCD，∴BC⊥PC
∴∠PCD是二面角P-BC-A的平面角，即有∠PCD=

π

4

，（7分）
此時(shí)，△PCD是等腰三角形，結(jié)合E是PC的中點(diǎn)，可得DE⊥PC，（9分）
∵BC⊥平面PCD，DE?平面PCD，∴DE⊥BC，
∵PC、BC是平面PBC內(nèi)的相交直線(xiàn)
∴DE⊥平面PBC
∵平行四邊形ADEF中，DE∥AF，∴AF⊥平面PBC，（12分）
∵AF?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PBC．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)與平面、平面與平面的位置關(guān)系、二面角的概念等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象、推理論證能力，屬于中檔題．