Question

已知橢圓的焦距是2，離心率是0.5；
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：過點A（1，2）傾斜角為45°的直線l與橢圓有兩個不同的交點．

Answer 1

解：（1）2c=2，∴c=1，…（2分）
由，得a=2，∴b=．…（4分）
∴橢圓的方程為． …（6分）
（2）直線l：y-2=tan45°（x-1），即y=x+1．…（8分）
代入，整理得：7x²+8x-8=0．…（10分）
∵△=8²-4×7×（-8）=288＞0…（11分）
∴過點A（1，2）傾斜角為45⁰的直線l與橢圓有兩個不同的交點． …（12分）
分析：（1）直接根據(jù)焦距是2，離心率是0.5；求出c=1，a=2，再根據(jù)a，b，c之間的關(guān)系求出b；即可求橢圓的方程；
（2）把直線方程和橢圓方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，只要對應(yīng)的判別式大于0即可說明結(jié)論．
點評：本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及應(yīng)用和直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題目，解題時要注意性質(zhì)的靈活運用．