Question

19．若以直角坐標(biāo)系xOy的O為極點(diǎn)，Ox為極軸，選擇相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，得曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=$\frac{cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$．
（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并指出曲線是什么曲線；
（2）若直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}+t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}$（t為參數(shù)），當(dāng)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為ρ²sin²θ=ρcosθ，由此能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程，并得到曲線C是以x軸為對(duì)稱軸，開口向右的拋物線．
（2）直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t，得直線l的直角坐標(biāo)方程為$y=\sqrt{3}x-\frac{3\sqrt{3}}{2}$，代入y²=x，得：2$\sqrt{3}$y²-2y-3$\sqrt{3}$=0，由此利用弦長公式能求出|AB|．

解答 解：（1）∵曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=$\frac{cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$，
∴ρ²sin²θ=ρcosθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²=x，
∴曲線C是以x軸為對(duì)稱軸，開口向右的拋物線．
（2）∵直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{2}+t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}$（t為參數(shù)），
∴消去參數(shù)t，得直線l的直角坐標(biāo)方程為$y=\sqrt{3}x-\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
代入y²=x，整理，得：2$\sqrt{3}$y²-2y-3$\sqrt{3}$=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，y₁y₂=-$\frac{3}{2}$，
∴|AB|=$\sqrt{（1+\frac{1}{3}）[（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}+4×\frac{3}{2}]}$=$\frac{2\sqrt{19}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的極坐標(biāo)方程的求法，考查弦長的求法，考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．