已知函數(shù)（，），．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并確定其零點個數(shù)；
（2）若在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍；
（3）證明不等式 （）．

（1）當(dāng)時，為的減區(qū)間，為的增區(qū)間，有且只有一個零點；當(dāng)時，為的增區(qū)間，為的減區(qū)間，有且只有一個零點.
（2）
（3）由（2）可知 當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞增，
而所以當(dāng)時， 即   放縮法來得到。

解析試題分析：解：（1）                 1分
則
                 2分
（i）若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，
所以 為的增區(qū)間，為的減區(qū)間.        3分
極大值為
所以只有一個零點.
（ii）若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，
所以 為的減區(qū)間，為的增區(qū)間.
極小值為              4分
所以只有一個零點.
綜上所述，
當(dāng)時，為的減區(qū)間，為的增區(qū)間，有且只有一個零點；
當(dāng)時，為的增區(qū)間，為的減區(qū)間，有且只有一個零點.
5分
（2）
              6分
由在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，可知,恒成立.
則   恒成立.          7分
(法一)由二次函數(shù)的圖象(開口向上，過定點)可得或 
8分
則 或
則 或
得 .
可以驗證 當(dāng)時在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增
故 .                         9分
(法二)分離變量
因  （當(dāng)且僅當(dāng)，即時取到等號） 8分
所以 ， 則.
可以驗證 當(dāng)

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)．
⑴求函數(shù)的解析式；
⑵設(shè)函數(shù)，若的兩個實根分別在區(qū)間內(nèi)，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，，其中為常數(shù)， ，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交點處的切線為，函數(shù)的圖象與直線交點處的切線為，且。
（Ⅰ）若對任意的，不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.
（Ⅱ）對于函數(shù)和公共定義域內(nèi)的任意實數(shù)。我們把 的值稱為兩函數(shù)在處的偏差。求證：函數(shù)和在其公共定義域的所有偏差都大于2.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù) f（x）=ax＋lnx，其中a為常數(shù)，設(shè)e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)a=－1時，求的最大值；
（2）若f（x）在區(qū)間（0，e］上的最大值為－3，求a的值；
（3）當(dāng)a=－1時，試推斷方程是否有實數(shù)解 .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知是定義在上的偶函數(shù)，且時，．
（Ⅰ）求，；
（Ⅱ）求函數(shù)的表達(dá)式；
（Ⅲ）若，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像與直線平行，且在處取得極小值．設(shè)．
（1）若曲線上的點到點的距離的最小值為，求的值；
（2）如何取值時，函數(shù)存在零點，并求出零點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，．
（1）若，求證：函數(shù)是上的奇函數(shù)；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

某工廠修建一個長方體無蓋蓄水池，其容積為4 800立方米，深度為3米．池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元．設(shè)池底長方形長為x米．
（1）求底面積，并用含x的表達(dá)式表示池壁面積；
（2）怎樣設(shè)計水池能使總造價最低?最低造價是多少?

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，某動物園要建造兩間完全相同的矩形熊貓居室，其總面積為24平方米，設(shè)熊貓居室的一面墻AD的長為x米 .

（1）用x表示墻AB的長；
（2）假設(shè)所建熊貓居室的墻壁造價（在墻壁高度一定的前提下）為每米1000元，請將墻壁的總造價y（元）表示為x(米)的函數(shù)；
（3）當(dāng)x為何值時，墻壁的總造價最低？

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同步練習(xí)冊答案