Question

設(shè)x、y∈R,求證:|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy≥0.?

Answer 1

證明:充分性:若xy=0,那么,①x=0,y≠0；②x≠0,y=0；③x=0,y=0,于是|x+y|=|x|+|y|.如果xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0,

當(dāng)x>0,y>0時(shí),|x+y|=x+y=|x|+|y|.

當(dāng)x<0,y<0時(shí),|x+y|=-(x+ y)=-x+(-y)=|x|+|y|.

總之,當(dāng)xy≥0時(shí),有|x+y|=|x|+|y|.?

必要性:由|x+y|=|x|+|y|及x、y∈R,得

(x+y)²=(|x|+|y|)²,即x²+2xy+y²=x²+2|xy|+y².?

|xy|=xy.∴xy≥0.

溫馨提示:充要條件的證明關(guān)鍵是根據(jù)定義確定哪是已知條件,哪是結(jié)論,然后搞清楚充分性是證明哪一個(gè)命題,必要性是證明哪一個(gè)命題.

判斷命題的充要關(guān)系有三種方法:

(1)定義法.

(2)等價(jià)法,即利用AB與BA；BA與AB；AB與AB的等價(jià)關(guān)系,對(duì)于條件或結(jié)論是不等關(guān)系(否定式)的命題,一般運(yùn)用等價(jià)法.?

(3)利用集合間的包含關(guān)系判斷,若AB,則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B,則A是B的充要條件.?