Question

已知函數(shù)f(x)=

lnx

x

-x.
（1）求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）證明：對(duì)?n∈N₊，不等式ln(

1+n

n

)n＜

1+n

n

恒成立．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)的定義域，研究在（0，+∞）上的最值問(wèn)題，先求出函數(shù)的極值，往往求出的極大值就是最大值．
（2）要證不等式ln(

1+n

n

)n＜

1+n

n

即證ln(

1+n

n

) ＜

1+n

n2

=

1+n

n

(

1+n

n

-1)，所以只需證明lnx＜x（x-1），由第一問(wèn)可知f（x）≤1，結(jié)論很快得證．

解答：解：（1）∵f′(x)=

1-lnx

x2

-1
令f'（x）=0得x²=1-lnx
顯然x=1是上方程的解．
令g（x）=x²+lnx-1，x∈（0，+∞）
則g′(x)=2x+

1

x

＞0，∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)，
∴x=1是方程f'（x）=0的唯一解．（4分）
∵當(dāng)0＜x＜1時(shí)f′(x)=

1-lnx

x2

-1＞0，
當(dāng)x＞1時(shí)f'（x）＜0．∴函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)有最大值f（x）_max=f（1）=-1．（6分）
（2）由（1）知當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）_max=f（1）=-1
∴在（0，+∞）上恒有f(x)=

lnx

x

-x≤-1，
對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒有l(wèi)nx≤x（x-1）（8分）
∵

1+n

n

＞1
∴ln

1+n

n

＜

1+n

n

(

1+n

n

-1)=

1+n

n2

.（11分）
即對(duì)?n∈N^*，不等式ln(

1+n

n

)n＜

1+n

n

恒成立（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問(wèn)題，以及以不等式為載體考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．