Question

下列各函數(shù)：①y=x+

1

x

②y=sinx+

1

sinx

，x∈(0，

π

2

)③y=

x2+3

x2+2

④y=ex+

4

ex

-2
其中最小值為2的函數(shù)有

④

．（寫(xiě)出符合的所有函數(shù)的序號(hào)）

Answer 1

分析：根據(jù)基本不等式成立的條件“一正而定三相等”．依次分析4個(gè)函數(shù)，對(duì)于①不符合x(chóng)為正值，對(duì)于②③，不符合等號(hào)成立的條件，都不符合題意；對(duì)于④，令t=e^x＞0，易得t+

4

t

的最小值為4，即可得y=ex+

4

ex

-2的最小值為2，符合題意，即可得答案．

解答：解：根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，當(dāng)t＞0時(shí)，t+

m

t

≥2

t• m t

=2

m

（m＞0），當(dāng)且僅當(dāng)t=

m

t

，即t=

m

時(shí)等號(hào)成立；依次分析4個(gè)函數(shù)可得，
①：當(dāng)x＜0時(shí)，y=x+

1

x

為負(fù)值，最小值不為2，不符合題意；
②：由基本不等式的性質(zhì)可得，令t=sinx，由x∈（0，

π

2

），則t∈（0，1），即sinx不可能等于

1

sinx

，則y=sinx+

1

sinx

取不到最小值2，不符合題意；
③y=

x2+3

x2+2

=

x2+2

+

1

x2+2

，但

x2+2

≥

2

＞1，即

x2+2

不可能等于

1

x2+2

，則y=

x2+2

+

1

x2+2

也取不到最小值2，不符合題意；
④y=ex+

4

ex

-2，令t=e^x＞0，y=t+

4

t

-2≥2

t• 4 t

-2=2，且當(dāng)x=0時(shí)，t=1，y=t+

4

t

-2=2等號(hào)成立，符合題意；
故答案為④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式的運(yùn)用與性質(zhì)，注意基本不等式成立的條件“一正而定三相等”即可．