Question

8．設(shè)a，b，c都是正實(shí)數(shù)，且a+b+c=1，則$（{\frac{1}{a}-1}）（{\frac{1}-1}）（{\frac{1}{c}-1}）$的取值范圍是（　　）

• A． [0，$\frac{1}{8}$）
• B． [8，+∞）
• C． [1，8）
• D． [$\frac{1}{8}$，1）

Answer 1

分析 根據(jù)a+b+c=1，得到$（{\frac{1}{a}-1}）（{\frac{1}-1}）（{\frac{1}{c}-1}）$=$\frac{b+c}{a}$•$\frac{a+c}$•$\frac{a+b}{c}$，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出其范圍即可．

解答 解：∵a，b，c都是正實(shí)數(shù)，且a+b+c=1，
∴$（{\frac{1}{a}-1}）（{\frac{1}-1}）（{\frac{1}{c}-1}）$
=（$\frac{a+b+c}{a}-1$）（$\frac{a+b+c}$-1）（$\frac{a+b+c}{c}$-1）
=$\frac{b+c}{a}$•$\frac{a+c}$•$\frac{a+b}{c}$
≥$\frac{2\sqrt{bc}}{a}$•$\frac{2\sqrt{ac}}$•$\frac{2\sqrt{ab}}{c}$
=8，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=$\frac{1}{3}$時(shí)“=”成立，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．