Question

(08年四川卷文)（本小題滿分12分）

  如圖，平面平面，四邊形與都是直角梯形，

，，分別為的中點

（Ⅰ）證明：四邊形是平行四邊形；

（Ⅱ）四點是否共面？為什么？

（Ⅲ）設，證明：平面平面；

Answer 1

解法一：

（Ⅰ）由題意知，

所以

又，故

所以四邊形是平行四邊形。

（Ⅱ）四點共面。理由如下：

由，是的中點知，，所以

由（Ⅰ）知，所以，故共面。又點在直線上

所以四點共面。

（Ⅲ）連結，由，及知是正方形

故。由題設知兩兩垂直，故平面，

因此是在平面內的射影，根據三垂線定理，

又，所以平面

由（Ⅰ）知，所以平面。

由（Ⅱ）知平面，故平面，得平面平面

 

解法二：

由平面平面，，得平面，以為坐標原點，

射線為軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標系

（Ⅰ）設，則由題設得

　　

所以

于是

又點不在直線上

所以四邊形是平行四邊形。

（Ⅱ）四點共面。理由如下：

由題設知，所以

又，故四點共面。

（Ⅲ）由得，所以

又，因此

即

又，所以平面

故由平面，得平面平面