Question

已知函數(shù)f（x）=x³-6ax²，其中a≥0．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)，通過(guò)討論a的取值，討論函數(shù)的單調(diào)性．
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)通過(guò)列表格求出函數(shù)的最小值．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3x²-12ax．…（2分）
令f'（x）=0，得x₁=0，x₂=4a．…（3分）
①當(dāng)a=0時(shí)，f'（x）=3x²≥0，故f（x）在R上為增函數(shù)．…（4分）
②當(dāng)4a＞0，即a＞0時(shí)，列表分析如下：

x	（-∞，0）	0	（0，4a）	4a	（4a，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+

所以函數(shù)f（x）在（-∞，0）和（4a，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，在（0，4a）內(nèi)單調(diào)遞減．…（7分）
綜上，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（-∞，0）和（4a，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，在（0，4a）內(nèi)單調(diào)遞減．
（Ⅱ）①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)為增函數(shù)，所以f（x）_min=f（0）=0．…（9分）
②當(dāng)0＜4a＜1時(shí)，即0＜a＜

1

4

時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，4a）內(nèi)為減函數(shù)，在（4a，1）內(nèi)為增函數(shù)，所以f(x)min=f(4a)=-32a3．…（11分）
③當(dāng)4a≥1時(shí)，即a≥

1

4

時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)為減函數(shù)，所以f（x）_min=f（1）=1-6a．
…（13分）
綜上，當(dāng)0≤a＜

1

4

時(shí)，f(x)min=-32a3；當(dāng)a≥

1

4

時(shí)，f（x）_min=1-6a．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性和最值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系．對(duì)應(yīng)含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論．