Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

1

xlnx

(x＞0且x≠1)
（1）若f'（x₀）=0，求x₀的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）已知2

1

x

＞xa對任意x∈（0，1）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)f′（x），解方程f'（x₀）=0，可得x₀的值；
（2）求導(dǎo)數(shù)f′（x），然后在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（3）對于未知數(shù)在指數(shù)上的式子，往往取對數(shù)進(jìn)行解答．

解答：解：（1）f′（x）=-

lnx+1

x2ln2x

，f'（x₀）=0，即

lnx0+1

x02ln2x0

=0，
所以lnx₀+1=0，解得x0=

1

e

；
（2）f′（x）=-

lnx+1

x2ln2x

，
令f′（x）＞0，得0＜x＜

1

e

，f（x）遞增；令f′（x）＜0，得x＞

1

e

且x≠1，
所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（0，

1

e

），減區(qū)間為（

1

e

，1），（1，+∞）；
（3）在2

1

x

＞xa兩邊取對數(shù)，得

1

x

ln2＞alnx，由于0＜x＜1，所以

a

ln2

＞

1

xlnx

（1），
由（1）的結(jié)果可知，當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）≤f（

1

e

）=-e，
為使（1）式對所有x∈（0，1）成立，當(dāng)且僅當(dāng)

a

ln2

＞-e，即a＞-eln2．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、單調(diào)性，考查函數(shù)恒成立問題，恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決．