Question

過點(diǎn)P（2，1）的直線l交x軸、y軸正半軸于A、B兩點(diǎn)，求使：
（1）△AOB面積最小時(shí)l的方程；
（2）|PA||PB|最小時(shí)l的方程．

Answer 1

分析：設(shè)出直線的截距式方程，利用直線經(jīng)過點(diǎn)（2，1），得到關(guān)系式，
（1）通過基本不等式求出ab的最小值，然后求解△AOB面積最小時(shí)l的方程；
（2）利用推出的關(guān)系式，通過距離公式化簡|PA||PB|，利用基本不等式求出最小值時(shí)a，b的值，然后求出l的方程．

解答：解：設(shè)直線的方程為

x

a

+

y

b

=1（a＞2，b＞1），
∵直線l過點(diǎn)P（2，1），
∴

2

a

+

1

b

=1．
（1）∵2

2 a • 1 b

≤

2

a

+

1

b

=1，
∴ab≥8．∴S_△AOB=

1

2

ab≥

1

2

×8=4．
當(dāng)且僅當(dāng)

2

a

=

1

b

=

1

2

，即a=4，b=2時(shí)，S_△AOB取最小值4，
此時(shí)直線l的方程為

x

4

+

y

2

=1，即x+2y-4=0．
（2）由

2

a

+

1

b

=1，得ab-a-2b=0，
變形得（a-2）（b-1）=2，
|PA||PB|=

(2-a)2+(1-0)2

•

(2-0)2+(1-b)2

=

[(a-2)2+1]•[(b-1)2+4]

≥

2(a-2)•4(b-1)

．
當(dāng)且僅當(dāng)a-2=1，b-1=2，即a=3，b=3時(shí)，|PA|•|PB|取最小值4．
此時(shí)直線l的方程為x+y-3=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程的應(yīng)用，基本不等式求解最值問題，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．