Question

已知函數(shù)f(x)=ln

x+1

x-1

．
（Ⅰ） 求f（x）的反函數(shù)f^-1（x）；
（Ⅱ） 求不等式f（x）＞0的解集；
（Ш） 討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由y=ln

x+1

x-1

反解x=

ey+1

ey-1

（y≠0），從而可求得f（x）的反函數(shù)f^-1（x）；
（Ⅱ）f（x）=ln

x+1

x-1

＞0?

x+1

x-1

＞1（x|x＜-1或x＞1），解之即可．
（Ш）解法一：設(shè)t=

x+1

x-1

，則y=lnt，（x＜-1或x＞1），利用坐標(biāo)變換，作出變換的圖象，數(shù)形結(jié)合即可判斷其單調(diào)性；
解法二：利用單調(diào)性的定義，設(shè)x₁，x₂是（1，+∞）上的任意兩個實數(shù)，且x₁＜x₁，作差f（x₁）-f（x₂），判斷即可．

解答：解：（Ⅰ） 由y=ln

x+1

x-1

得e^y=

x+1

x-1

．…（1分）
xe^y-e^y=x+1，…（2分）
xe^y-x=e^y+1，即（e^y-1）x=e^y+1，…（3分）
∴x=

ey+1

ey-1

（y≠0）．…（4分）
∴f^-1（x）=

ex+1

ex-1

（x≠0）…（5分）
（Ⅱ）∵

x+1

x-1

＞0，
∴x＜-1或x＞1．
所以，函數(shù)定義域為{x|x＜-1或x＞1}．…（6分）
根據(jù)題意，ln

x+1

x-1

＞0，即ln

x+1

x-1

＞ln1，…（7分）
∴

x+1

x-1

＞1．即

x+1

x-1

-1＞0，也就是

x+1-(x-1)

x-1

=

2

x-1

＞0，…（8分）
∴x＞1．…（9分）
所以，不等式f（x）＞0的解集為{x|x＞1}．…（10分）
（Ш）解法一：
設(shè)t=

x+1

x-1

，則y=lnt，x＜-1或x＞1．…（11分）
t=

x+1

x-1

=

x-1+2

x-1

=1+

2

x-1

．…（12分）
t=

2

x

向上平移1個單位得到t=

2

x

+1，再向右平移1個單位得到t=

2

x

，t=1+

2

x-1

…（13分）
當(dāng)x∈（-∞，-1）時，t是x的減函數(shù)，y是t的增函數(shù)； …（14分）
當(dāng)x∈（1，+∞）時，t是x的減函數(shù)，y是t的增函數(shù)．…（15分）
所以，函數(shù)f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上都是減函數(shù)．…（16分）
解法二：
設(shè)x₁，x₂是（1，+∞）上的任意兩個實數(shù)，且x₁＜x₁，…（11分）
則f（x₁）-f（x₂）=ln

x1+1

x1-1

-ln

x2+1

x2-1

=ln

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

…（12分）
∵

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

-1=

(x1+1)(x2-1)-(x1-1)(x2+1)

(x1-1)(x2+1)

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2+1)

…（13分）
∵1＜x₁＜x₁，x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂+1＞0．
∴

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

＞1．…（14分）
從而f（x₁）-f（x₂）=ln

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

＞ln1=0．即f（x₁）＞f（x₂）．
所以，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．…（15分）
同理，函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上也是減函數(shù)．…（16分）

點評：本題考查反函數(shù)，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查解不等式，考查綜合分析與運算能力、邏輯思維能力、創(chuàng)新能力，屬于難題．