Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

（a≠0），過(guò)P（1，0）作f（x）圖象的切線l．
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求出所有切線l的方程．
（2）探求在a≠0的情況下，切線l的條數(shù)．
（3）如果切線l有兩條，切點(diǎn)分別為M₁（x₁，x₂），M₂（x₂，y₂），求g（a）=|M₁M₂|的解析式．

Answer 1

（1）．當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）=x+

2

x

，所以P不在f（x）的圖象上，設(shè)切點(diǎn)為M₀（x₀，y₀）
∵f′（x）=1+

2

x2

，∴f′（x₀）=1+

2

x 02

=k PM 0=

y0-0

x0-1

，
又y₀=x₀+

2

x0

，代入整理得：x₀²-4x₀+2=0，即x₀=2±

2

，
∴f′（x₀）=1+

2

x 02

=1+

1

3±2 2

∴切線l的方程：y=（1+

1

3±2 2

）（x-1）
（2）．f′（x）=1-

a

x2

只有當(dāng)a=-1時(shí)，點(diǎn)P在f（x）的圖象上，
∴只有當(dāng)a=-1時(shí)，P可以是切點(diǎn)且l的方程：y=2x-2．
當(dāng)P是不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為M₀（x₀，y₀），x₀≠0，
∵f′（x）=1-

a

x2

，∴f′（x₀）=1-

a

x2

=k PM 0=

y0-0

x0-1

，
又y₀=x₀+

a

x0

，代入整理得：x₀²+2ax₀-a=0，，┉①
△=4a²+4a，經(jīng)檢驗(yàn)，x₀=1不滿(mǎn)足方程．
當(dāng)a＞0或a＜-1時(shí)，△＞0，切點(diǎn)有兩個(gè)；
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，△＜0，沒(méi)有切點(diǎn)；
綜上所述：
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，沒(méi)有切線l存在；
當(dāng)a=-1時(shí)，只有一條切線l；
當(dāng)a＞0或a＜-1時(shí)，有兩條切線l存在
（3）由（2）問(wèn)可知，當(dāng)a＞0或a＜-1時(shí)，有兩條切線l存在．
由①式可知：x₁，x₂滿(mǎn)足方程x²+2ax-a=0，
即x₁+x₂=-2a，x₁x₂=-a
∵y₁=x₁+

a

x1

，y₂=x₂+

a

x2

∴g（a）=\M₁M₂\=

(x1-x2) 2+(y1-y2) 2

=

(x1-x2)2[1+(1- a x1x2 )2]?

=

5(x1-x2)2?

=

5[(x1+x2)2-4x1x2]?

=2

5(a2+a)

∴g（a）=2

5(a2+a)

，a＞0或a＜-1