Question

已知函數(shù)f（x）=（2x+a）•e^x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的極小值；
（2）對(duì)區(qū)間[-1，1]內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x，都有-2≤f（x）≤e²成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)f（x）的極小值；
（2）分類(lèi)討論，求出函數(shù)在區(qū)間[-1，1]內(nèi)的最大值與最小值，根據(jù)-2≤f（x）≤e²成立，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）f′（x）=（2x+a+2）•e^x，
當(dāng)時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)時(shí)，f′（x）＞0，
∴函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
∴時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值為；
（2）由（1）知，即a≥0時(shí)，f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)
∴f（x）_max=f（1），f（x）_min=f（-1）
∵對(duì)區(qū)間[-1，1]內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x，都有-2≤f（x）≤e²成立，
∴
∴
∴0≤a≤e-2
，即a≤-4時(shí)，f（x）在[-1，1]上為減函數(shù)
∴f（x）_max=f（-1），f（x）_min=f（1）
∵對(duì)區(qū)間[-1，1]內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x，都有-2≤f（x）≤e²成立，
∴
∴，無(wú)解；
，即-4＜a＜0時(shí)，f（x）在[-1，）上為減函數(shù)，在[，1）上為增函數(shù)
∴f（x）_max={f（-1），f（1）}，f（x）_min=
∴
∴-2≤a＜0
綜上，a的取值范圍為-2≤a≤e-2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．