Question

已知構成某系統(tǒng)的元件能正常工作的概率為p（0＜p＜1），且各個元件能否正常工作是相互獨立的．今有2n（n大于1）個元件可按如圖所示的兩種連接方式分別構成兩個系統(tǒng)甲、乙．
（1）試分別求出系統(tǒng)甲、乙能正常工作的概率p₁，p₂；
（2）比較p₁與p₂的大小，并從概率意義上評價兩系統(tǒng)的優(yōu)劣．

Answer 1

解：（1）由圖知，甲系統(tǒng)中每個通路能正常工作的概率為pⁿ，故整個系統(tǒng)能正常工作的概率是p₁=1-（1-pⁿ）²=pⁿ（2-pⁿ），
乙系統(tǒng)每個小并聯電路能正常工作的概率是p（2-p），故整個系統(tǒng)能正常工作的概率是p₂=pⁿ（2-p）ⁿ．（4分）
（2）由于p₂-p₁=pⁿ[（2-p）ⁿ-（2-pⁿ）]，故比較p₁與p₂的大小可通過比較[（2-p）ⁿ-（2-pⁿ）]符號，
當n=2時，有（2-p）²-（2-p²）=2（1-p）²＞0 （0＜p＜1）．故有n=2時，（2-p）²＞2-p²，
假設n=k時，有（2-p）^k＞2-p^k，
當n=k+1時，（2-p）^k+1-（2-p^k+1）=（2-p）（2-p）^k-（2-p^k+1）=2（1-p）（2-p^k）
由于0＜p＜1，可得2（1-p）（2-p^k）＞0，故有n=k+1時，（2-p）^k+1＞（2-p^k+1），
綜上證得p₂＞p₁，
由此結論知，在所用的電子器件數目一樣的情況下，乙系統(tǒng)工作情況比甲系統(tǒng)更穩(wěn)定，出現不正常工作的可能小，較可靠．
分析：（1）由題意及圖知，甲系統(tǒng)是先串聯再并聯，可先求出每個串聯的電路正常工作的概率再求整個系統(tǒng)能正常工作的概率，乙系統(tǒng)是先并聯再串聯，同理可求出整個系統(tǒng)能正常工作的概率；
（2）由（1）的結果，對兩個系統(tǒng)正常工作的概率進行比較即可，由于兩個系統(tǒng)的概率與自然數n有關，可用數學歸納法證明
點評：本題考查數學歸納法，解題的關鍵是理解數學歸納法的證明規(guī)律及其證明步驟，以及題解本題的物理背景，正確計算出兩個系統(tǒng)的概率，本題綜合性強，考查了依據實際問題建立數學模型的能力及推理判斷的能力，難度較高運算量較大，易因為不理解題意而導致無法下手或者理解出錯，