Question

自然狀態(tài)下的魚(yú)類(lèi)是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚(yú)群總量的影響，用x_n表示某魚(yú)群在第n年年初的總量，n∈N*，且x₁＞0。不考慮其它因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚(yú)群的繁殖量及捕撈量都與x_n成正比，死亡量與x_n²成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c。
（1）求x_n+1與x_n的關(guān)系式；
（2）猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)x₁，a，b，c滿足什么條件時(shí)，每年年初魚(yú)群的總量保持不變？（不要求證明）　 （3）設(shè)a=2，b=1，為保證對(duì)任意x₁∈（0，2），都有x_n＞0，n∈N*，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論。

Answer 1

解：（1）從第n年初到第n+1年初，魚(yú)群的繁殖量為ax_n，被捕撈量為bx_n，死亡量為
因此
即。
（2）若每年年初魚(yú)群總量保持不變，則x_n恒等于x₁，n∈N*，從而由（*）式得
 恒等于0，n∈N*
所以，即
因?yàn)閤₁>0，
所以a>b
猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)a>b，且時(shí)，每年年初魚(yú)群的總量保持不變。
（3）若b的值使得x_n>0，n∈N*
由x_n+1=x_n（3-b-x_n），n∈N*，
知0＜x_n＜3-b，n∈N*，
特別地，有0＜x₁＜3-b
即0＜b＜3-x₁
而x₁∈（0，2），
所以
由此猜測(cè)b的最大允許值是1
下證當(dāng)x₁∈（0，2），b=1時(shí)，都有x_n∈（0，2），n∈N*
①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即x_k∈（0，2），
則當(dāng)n=k+1時(shí)，x_k+1=x_k（2-x_k）>0
又因?yàn)閤_k+1=x_k（2-x_k）=-（x_k-1）²+1≤1＜2，
所以x_k+1∈（0，2），故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立
由①、②可知，對(duì)于任意的n∈N*，都有x_n∈（0，2）
綜上所述，為保證對(duì)任意x₁∈（0，2），都有x_n>0，n∈N*，
則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是1。