Question

如圖，在邊長為1的正方形OABC內(nèi)取一點(diǎn)P（x，y），求：
（1）點(diǎn)P到原點(diǎn)距離小于1的概率；
（2）以x，y，1為邊長能構(gòu)成三角形的概率；
（3）以x，y，1為邊長能構(gòu)成銳角三角形的概率．

Answer 1

分析：（1）點(diǎn)P到原點(diǎn)距離小于1，則P位于以O(shè)為圓心、半徑為1的圓內(nèi)部，因此所求概率等于如圖的扇形面積與正方形ABCO的面積之比，由此即可算出P到原點(diǎn)距離小于1的概率；
（2）以x、y、1為邊長能構(gòu)成三角形，則P位于的區(qū)域?yàn)槿鐖D的△ABC及其內(nèi)部，因此用△ABC面積除以正方形ABCO的面積，即可得到以x、y、1為邊長能構(gòu)成三角形的概率；
（3）以x、y、1為邊長能構(gòu)成銳角三角形，則P位于的區(qū)域?yàn)檎�方形ABCO內(nèi)部且位于以O(shè)為圓心、半徑為1的圓外部，即如圖的陰影部分，由此即可算出以x、y、1為邊長能構(gòu)成銳角三角形的概率．

解答：解：（1）若點(diǎn)P到原點(diǎn)距離小于1，則P位于以O(shè)為圓心、半徑為1的圓內(nèi)部

因此，點(diǎn)P到原點(diǎn)距離小于1的概率為P₁=

1 4 π×12

1×1

=

π

4

   （3分） 
（2）若以x，y，1為邊長能構(gòu)成三角形，
則有

x+y＞1 0≤x≤1 0≤y≤1

，
對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)檎�方形ABCO內(nèi)部且位于直線AC上方，即△ABC及其內(nèi)部，
因此以x、y、1為邊長能構(gòu)成三角形的概率為P₂=

S△ABC

SABCO

=

1

2

    （6分）
（3）以x，y，1為邊長能構(gòu)成銳角三角形，注意到最長的邊等于1
可得

x+y＞1 x2+y2＞1 0≤x≤1 0≤y≤1

，
對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)檎�方形ABCO內(nèi)部且位于以O(shè)為圓心、半徑為1的圓外部，即如圖的陰影部分
因此以x，y，1為邊長能構(gòu)成銳角三角形的概率為
P₃=

1×1- π 4

1×1

=1-

π

4

    （10分）
答：（1）點(diǎn)P到原點(diǎn)距離小于1的概率為

π

4

；
（2）以x，y，1為邊長能構(gòu)成三角形的概率為

1

2

；
（3）以x，y，1為邊長能構(gòu)成銳角三角形的概率為1-

π

4

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出點(diǎn)P在以O(shè)（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1）為頂點(diǎn)的正方形內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，求以P的坐標(biāo)x、y為兩邊，1為第三邊能構(gòu)成三角形的概率．著重考查了扇形面積公式、正方形面積公式和幾何概型計(jì)算公式等知識(shí)，屬于中檔題．