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已知拋物線C1：y2＝4x的焦點與橢圓C2：＝1的右焦點F2重合，F1是橢圓的左焦點；

(Ⅰ)在△ABC中，若A(－4，0)，B(0，－3)，點C在拋物線y2＝4x上運動，求△ABC重心G的軌跡方程；

(Ⅱ)若P是拋物線C1與橢圓C2的一個公共點，且∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，求cosα·cosβ的值及△PF1F2的面積．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)設重心G(x，y)，則整理得將(*)式代入y2＝4x中，得(y＋1)2＝　∴重心G的軌跡方程為(y＋1)2＝　　6分

　　(Ⅱ)∵橢圓與拋物線有共同的焦點，由y2＝4x得F2(1，0)，∴b2＝8，橢圓方程為．設P(x1，y1)，由得，∴x1＝，x1＝－6(舍)．

　　∵x＝－1是y2＝4x的準線，即拋物線的準線過橢圓的另一個焦點F1．

　　設點P到拋物線y2＝4x的準線的距離為PN，則|PF2|＝|PN|．

　　又|PN|＝x1＋1＝，∴．

　　過點P作PP1⊥x軸，垂足為P1，在Rt△PP1F1中，cosα＝在Rt△PP1F2中，cos(л－β)＝，cosβ＝，∴cosαcosβ＝．

　　∵x1＝，∴|PP1|＝，∴　　12分


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知拋物線C1：y2=4mx（m＞0）的焦點為F2，其準線與x軸交于點F1，以F1，F2為焦點，離心率為
12
的橢圓C2與拋物線C1在x軸上方的一個交點為P．
（1）當m=1時，求橢圓的標準方程及其右準線的方程；
（2）用m表示P點的坐標；
（3）是否存在實數m，使得△PF1F2的邊長是連續(xù)的自然數，若存在，求出這樣的實數m；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知拋物線C1：y2=x+7，圓C2：x2+y2=5．
（1）求證拋物線與圓沒有公共點；
（2）過點P（a，0）作與x軸不垂直的直線l交C1，C2依次為A、B、C、D，若|AB|=|CD|，求實數a的變化范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•河北模擬）已知拋物線C1：y2=2px和圓C2：(x-
p
2
)2+y2=
p2
4
，其中p＞0，直線l經過C1的焦點，依次交C1，C2于A，B，C，D四點，則
AB
•
CD
的值為
p2
4
p2
4
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知拋物線C1：y2=2px（p＞0）的焦點F以及橢圓C2：
y2
a2
+
y2
b2
=1，(a＞b＞0)的上、下焦點及左、右頂點均在圓O：x2+y2=1上．
（Ⅰ）求拋物線C1和橢圓C2的標準方程；
（Ⅱ）過點F的直線交拋物線C1于A、B兩不同點，交y軸于點N，已知
NA
=λ1
AF
， 
NB
 =λ2
BF
，求證：λ1+λ2為定值．
（Ⅲ）直線l交橢圓C2于P、Q兩不同點，P、Q在x軸的射影分別為P'、Q'，
OP
•
OQ
+
OP′
•
OQ′
 +1=0，若點S滿足：
OS
= 
OP
 +
OQ
，證明：點S在橢圓C2上．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知拋物線C1：y2=4x，圓C2：（x-1）2+y2=1，過拋物線焦點F的直線l交C1于A，D兩點（點A在x軸上方），直線l交C2于B，C兩點（點B在x軸上方）．
（Ⅰ）求|AB|•|CD|的值；
（Ⅱ）設直線OA、OB、OC、OD的斜率分別為m、n、p、q，且滿足m+n+p+q=3
2
，并且|AB|，|BC|，|CD|成等差數列，求出所有滿足條件的直線l的方程．

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