我們把由半橢圓（x≥0）與半橢圓（x≤0）合成的曲線稱作“果圓”，其中a2=
b2+c2，a＞0，b＞c＞0。
如圖，設(shè)點F0，F(xiàn)1，F(xiàn)2是相應(yīng)橢圓的焦點，A1，A2和B1，B2是“果圓”與x，y軸的交點，M是線段A1A2的中點，
（1）若△F0F1F2是邊長為1的等邊三角形，求該 “果圓”的方程；
（2）設(shè)P是“果圓”的半橢圓（x≤0）上任意一點，求證：當|PM|取得最小值時，P在點
B1，B2或A1處；
（3）若P是“果圓”上任意一點，求|PM|取得最小值時點P的橫坐標。

解：（1）∵，
∴，
于是，
所求“果圓”方程為。
（2）設(shè)P（x，y），則
，
，
∴的最小值只能在x=0或x=-c處取到，
即當|PM|取得最小值時，P在點B1，B2或A1處；
（3），且B1和B2同時位于“果圓”的半橢圓和半橢圓上，
所以，由（2）知，只需研究P位于“果圓”的半橢圓上的情形即可，
，
當，即a≤2c時，的最小值在時取到，
此時P的橫坐標是；
當，即a＞2c時，由于在x＜a時是遞減的，的最小值在x=a時取到，
此時P的橫坐標是a；
綜上所述，若a≤2c，當|PM|取得最小值時，點P的橫坐標是；
若a＞2c，當|PM|取得最小值時，點P的橫坐標是a或-c。
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我們把由半橢圓數(shù)學(xué)公式（x≥0）與半橢圓數(shù)學(xué)公式（x≤0）合成的曲線稱作“果圓”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0．如圖，設(shè)點F0，F(xiàn)1，F(xiàn)2是相應(yīng)橢圓的焦點，A1，A2和B1，B2是“果圓”與x，y軸的交點，M是線段A1A2的中點．
（1）若△F0F1F2是邊長為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程；
（2）設(shè)P是“果圓”的半橢圓數(shù)學(xué)公式（x≤0）上任意一點．求證：當|PM|取得最小值時，P在點B1，B2或A1處；
（3）若P是“果圓”上任意一點，求|PM|取得最小值時點P的橫坐標．

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圖6

我們把由半橢圓=1(x≥0)與半橢圓=1(x≤0)合成的曲線稱作“果圓”,其中a2=b2+c2,a＞0,b＞c＞0.

如圖6,點F0、F1、F2是相應(yīng)橢圓的焦點,A1、A2和B1、B2分別是“果圓”與x、y軸的交點.〔(文)M是線段A1A2的中點〕

(1)(理)若△F0F1F2是邊長為1的等邊三角形,求“果圓”的方程.

(2)(理)當|A1A2|＞|B1B2|時,求的取值范圍.

(文)設(shè)P是“果圓”的半橢圓=1(x≤0)上任意一點,求證:當|PM|取得最小值時,P在點B1、B2或A1處.

(3)(理)連結(jié)“果圓”上任意兩點的線段稱為“果圓”的弦.試研究:是否存在實數(shù)k,使斜率為k的“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上?若存在,求出所有可能的k值;若不存在,請說明理由.

(文)若P是“果圓”上任意一點,求|PM|取得最小值時點P的橫坐標.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

我們把由半橢圓+=1(x≥0)與半橢圓+=1(x＜0)合成的曲線稱作“果圓”（其中a2=b2+c2,a＞b＞c＞0）.如圖，設(shè)點F0,F1,F2是相應(yīng)橢圓的焦點，A1、A2和B1、B2是“果圓”與x，y軸的交點，若△F0F1F2是邊長為1的等邊三角形，則a，b的值分別為

A.,1               B.,1               C.5，3               D.5，4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2007年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

我們把由半橢圓（x≥0）與半橢圓（x≤0）合成的曲線稱作“果圓”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0．如圖，設(shè)點F，F(xiàn)1，F(xiàn)2是相應(yīng)橢圓的焦點，A1，A2和B1，B2是“果圓”與x，y軸的交點，M是線段A1A2的中點．
（1）若△FF1F2是邊長為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程；
（2）設(shè)P是“果圓”的半橢圓（x≤0）上任意一點．求證：當|PM|取得最小值時，P在點B1，B2或A1處；
（3）若P是“果圓”上任意一點，求|PM|取得最小值時點P的橫坐標．

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