Question

已知數(shù)列{a_n} 的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n=2n²-n，且a₁，a₂依次是等比數(shù)列{b_n}的前兩項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n} 及{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在常數(shù)a＞0且a≠1，使得數(shù)列{a_n-log_ab_n}（n∈N⁺）是常數(shù)列？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由關(guān)系式求出a_n，注意驗(yàn)證n=1時(shí)是否符合，再求出a₁，a₂的值，作商求出公比，再代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出b_n；
（2）先假設(shè)存在，再由（1）求出a_n-log_ab_n進(jìn)行整理，列出常數(shù)列的等價(jià)條件，求出a的值并與范圍進(jìn)行比較，再下結(jié)論即可．
解答：解：（1）由題意知，S_n=2n²-n，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=s₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1=2n²-n-[2（n-1）²-（n-1）]=4n-3，
又n=1時(shí)，4n-3=1，也符合上式，
∴a_n=4n-3，
∴a₂=5，則，
（2）假設(shè)存在常數(shù)a＞0且a≠1滿足條件，
由（1）得a_n-log_ab_n=4n-3-（n-1）log_a5=（4-log_a5）n-3+log_a5，
∵數(shù)列{a_n-log_ab_n}（n∈N⁺）是常數(shù)列，
∴4-log_a5=0，
解得，
故存在常數(shù)a＞0且a≠1，使得數(shù)列{a_n-log_ab_n}（n∈N⁺）是常數(shù)列．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，以及的應(yīng)用，還有存在性問(wèn)題，一般是先假設(shè)存在，再由條件進(jìn)行求解，最后于條件進(jìn)行對(duì)比即可．