Question

已知無窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，其中、、是常數(shù).

（1）若，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，，，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）試探究、、滿足什么條件時(shí)，數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3），或或，．

【解析】

試題分析：（1）已知與的關(guān)系，要求，一般是利用它們之間的關(guān)系，把，化為，得出數(shù)列的遞推關(guān)系，從而求得通項(xiàng)公式；（2）與（1）類似，先求出，時(shí)，推導(dǎo)出與之間的關(guān)系，求出通項(xiàng)公式，再求出前項(xiàng)和；（3）這是一類探究性命題，可假設(shè)結(jié)論成立，然后由這個(gè)假設(shè)的結(jié)論來推導(dǎo)出條件，本題設(shè)數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列，則，，代入恒成立的等式，得

對于一切正整數(shù)都成立，所以，，，得出這個(gè)結(jié)論之后，還要反過來，由這個(gè)條件證明數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列，才能說明這個(gè)結(jié)論是正確的．在討論過程中，還要討論的情況，因?yàn)?img src="http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014022806320426143997/SYS201402280634532094691458_DA.files/image024.png">時(shí)，，，當(dāng)然這種情況下，不是等比數(shù)列，另外．

試題解析：（1）由，得；            1分

當(dāng)時(shí)，，即    2分

所以；                  1分

（2）由，得，進(jìn)而，  1分

當(dāng)時(shí)，

得，

因?yàn)?img src="http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014022806320426143997/SYS201402280634532094691458_DA.files/image037.png">，所以，        2分

進(jìn)而                2分

（3）若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，

①當(dāng)時(shí)，，

由，得恒成立.

所以，與數(shù)列是等比數(shù)列矛盾；           1分

②當(dāng)，時(shí)，，，    1分

由恒成立，

得對于一切正整數(shù)都成立

所以，或或，         3分

事實(shí)上，當(dāng)，或或，時(shí)，

，時(shí)，，得或

所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列       2分

考點(diǎn)：與的關(guān)系：，等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義．