Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是AB，AA₁的中點(diǎn)．求證：
（1）E，C，D₁，F(xiàn)四點(diǎn)共面；
（2）CE，D₁F，DA三線共點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）由三角形中位線定理和平行公式，得到EF∥D₁C，再由兩條平行線確定一個(gè)平面，得到E，C，D₁，F(xiàn)四點(diǎn)共面．
（2）分別延長(zhǎng)D₁F，DA，交于點(diǎn)P，由P∈DA，DA?面ABCD，知P∈面ABCD．再由三角形中位線定理證明CE，D₁F，DA三線共點(diǎn)于P．

解答：證明：（1）連接EF，A₁B，D₁C，
∵E，F(xiàn)分別是AB，AA₁的中點(diǎn)，
∴EF∥A₁B，A₁B∥D₁C，
∴EF∥D₁C，
∴由兩條平行線確定一個(gè)平面，得到E，C，D₁，F(xiàn)四點(diǎn)共面．
（2）分別延長(zhǎng)D₁F，DA，交于點(diǎn)P，
∵P∈DA，DA?面ABCD，
∴P∈面ABCD．
∵F是AA₁的中點(diǎn)，F(xiàn)A∥D₁D，
∴A是DP的中點(diǎn)，
連接CP，∵AB∥DC，
∴CP∩AB=E，
∴CE，D₁F，DA三線共點(diǎn)于P．

點(diǎn)評(píng)：本題考查四點(diǎn)共面和三點(diǎn)共線的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意平行公理和三角形中位線定理的合理運(yùn)用．