Question

12．過橢圓$\frac{x^2}{4}$+${\frac{y}{3}^2}$=1的右焦點(diǎn)作斜率為2的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求線段|AB|的長度．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．橢圓的右焦點(diǎn)F（1，0）．直線l的方程為：y=2x-2．與橢圓方程聯(lián)立．利用弦長公式求解|AB|即可．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．過橢圓$\frac{x^2}{4}$+${\frac{y}{3}^2}$=1的右焦點(diǎn)（1，0）作斜率為2的直線：y=2x-2
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2（x-1）}\\{3{x^2}+4{y^2}=12}\end{array}$得19x²-32x+4=0，則x₁+x₂=$\frac{32}{19}$，x₁x₂=$\frac{4}{19}$，
|AB|=$\sqrt{1+{2}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{5}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{19}$$\sqrt{3{2}^{2}-16×19}$=$\frac{60}{19}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．