已知函數(shù)f(x)=2sin
x
4
cos
x
4
+
3
cos
x
2

（1）求f（x）最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，
π
2
]時，求f（x）的最大值和最小值．
分析：（1）利用兩角和差的正弦公式化簡函數(shù) f（x）的解析式為 2sin（
x
2
+
π
3
），由此求得函數(shù)的周期T的值．再由2kπ-
π
2
≤
x
2
+
π
3
≤2kπ+
π
2
，k∈z，求得
x的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間．
（2）當(dāng)x∈[0，
π
2
]時，可得
π
3
≤
x
2
+
π
3
≤
7π
12
，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)的最值．
解答：解：（1）由于函數(shù)f(x)=2sin
x
4
cos
x
4
+
3
cos
x
2
=sin
x
2
+
3
cos
x
2
=2sin（
x
2
+
π
3
），
可得周期T=
2π
1
2
=4π．
令 2kπ-
π
2
≤
x
2
+
π
3
≤2kπ+
π
2
，k∈z，求得 4kπ-
5π
3
≤x≤4kπ+
π
3
，k∈z，
可得函數(shù)的增區(qū)間為[4kπ-
5π
3
，4kπ+
π
3
]，k∈z．
（2）當(dāng)x∈[0，
π
2
]時，
π
3
≤
x
2
+
π
3
≤
7π
12
，
故當(dāng)
x
2
+
π
3
=
3
2
時，f（x）=2sin（
x
2
+
π
3
） 取得最小值為
3
，
當(dāng)
x
2
+
π
3
=
π
2
時，f（x）=2sin（
x
2
+
π
3
） 取得最大值為2．
點(diǎn)評：本題主要考查兩角和差的正弦公式，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、定義域和值域，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負(fù)數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點(diǎn)（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點(diǎn)；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實(shí)數(shù)x均成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當(dāng)x=
4π
3
4π
3
時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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