Question

（2011•西安模擬）設(shè)過點P(1，  

3

2

)的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩焦點為F₁（-1，0）和F₂（1，0）．M為橢圓上的一個動點，以M為圓心，MF₂為半徑作⊙M．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若⊙M與y軸有兩個交點，求點M橫坐標的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在定⊙N，使⊙M與⊙N總內(nèi)切？若存在，求⊙N的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由2a=|PF₁|+|PF₂|=4，知a=2．由兩焦點為兩焦點為F₁（-1，0）和F₂（1，0），能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)M（x₀，y₀），則⊙M半徑r=

(x0-1)2+y02

，圓心M到y(tǒng)軸的距離d=|x₀|，⊙M與y軸有兩個交點，能求出點M橫坐標的取值范圍．
（Ⅲ）存在⊙N：（x+1）²+y²=16與⊙M總內(nèi)切，圓心N為橢圓的左焦點F₁，由橢圓的定義知，|MF₁|+|MF₂|=4，由此能導出兩圓相內(nèi)切．

解答：解：（Ⅰ）∵2a=|PF₁|+|PF₂|=

(1+1)2+( 3 2 )2

+

(1-1)2+( 3 2 )2

=4，
∴a=2．
∵兩焦點為F₁（-1，0）和F₂（1，0），
∴b²=a²-c²=4-1=3，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設(shè)M（x₀，y₀），則⊙M半徑r=

(x0-1)2+y02

，
圓心M到y(tǒng)軸的距離d=|x₀|，
由

(x0-1)2+y02 ＞|x0| x02 4 + y02 3 =1

，
得3x02+8x0-16＜0，
∴-4＜x0＜

4

3

，
∵-2≤x₀≤2，
∴-2≤x0＜

4

3

．
（Ⅲ）存在⊙N：（x+1）²+y²=16與⊙M總內(nèi)切，
圓心N為橢圓的左焦點F₁，
由橢圓的定義知，|MF₁|+|MF₂|=4，
∴|MF₁|=4-|MF₂|，
∴兩圓相內(nèi)切．

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．