17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過點(diǎn)P(0,1)且互相垂直的兩條直線分別與
圓O:x2+y2=4交于點(diǎn)A,B,與圓M:(x-2)2+(y-1)2=1交于點(diǎn)C,D.
(1)若$AB=\frac{3}{2}\sqrt{7}$,求CD的長;
(2)若CD中點(diǎn)為E,求△ABE面積的取值范圍.

分析 (1)設(shè)直線AB的方程為:y=kx+1(k≠0),根據(jù)$AB=\frac{3}{2}\sqrt{7}$,利用弦長公式可得:$(\frac{3\sqrt{7}}{4})^{2}$+$(\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}})^{2}$=22,解得k,可得直線CD的方程,再利用弦長公式即可得出.
(2)①直線AB為y軸時(shí),直線AB的方程為:x=0,直線CD的方程為:y=1.可得S△ABE=$\frac{1}{2}×|AB|•{x}_{E}$=4.
②直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為:y=kx+1,若k=0,則方程為y=1,經(jīng)過圓心(2,1),此時(shí)△ABE不存在,舍去.k≠0時(shí),可得直線CD的方程為:y=-$\frac{1}{k}$x+1.利用弦長公式可得:|AB|=2$\sqrt{\frac{3+4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$.聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}x+1}\\{(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=1}\end{array}\right.$,化為:(k2+1)x2-4k2x+3k2=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得E$(\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}},\frac{(k-1)^{2}}{1+{k}^{2}})$.利用點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)E到直線AB的距離d.可得S△ABE=$\frac{1}{2}$|AB|•d=2$\sqrt{4-\frac{5{k}^{2}+4}{{k}^{4}+2{k}^{2}+1}}$,通過換元利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

解答 解:(1)設(shè)直線AB的方程為:y=kx+1(k≠0),
∵$AB=\frac{3}{2}\sqrt{7}$,∴$(\frac{3\sqrt{7}}{4})^{2}$+$(\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}})^{2}$=22,
化為:k2=15,
解得k=$±\sqrt{15}$.
∴直線CD的方程為:y=$±\frac{1}{\sqrt{15}}$x+1.
∴|CD|=2$\sqrt{{1}^{2}-(\frac{±\frac{2}{\sqrt{15}}-1+1}{\sqrt{1+\frac{1}{15}}})^{2}}$=$\sqrt{3}$.
(2)①直線AB為y軸時(shí),直線AB的方程為:x=0,直線CD的方程為:y=1.
S△ABE=$\frac{1}{2}×|AB|•{x}_{E}$=$\frac{1}{2}×4×2$=4.
②直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為:y=kx+1,
若k=0,則方程為y=1,經(jīng)過圓心(2,1),此時(shí)△ABE不存在,舍去.
k≠0時(shí),可得直線CD的方程為:y=-$\frac{1}{k}$x+1.
|AB|=2$\sqrt{{2}^{2}-(\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}})^{2}}$=2$\sqrt{\frac{3+4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$.
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}x+1}\\{(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=1}\end{array}\right.$,化為:(k2+1)x2-4k2x+3k2=0,
△=16k4-12(k2+1)k2>0,化為:k2>3.
∴x1+x2=$\frac{4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$,可得E$(\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}},\frac{(k-1)^{2}}{1+{k}^{2}})$.
∴點(diǎn)E到直線AB的距離d=$\frac{|\frac{2{k}^{3}}{1+{k}^{2}}-\frac{(k-1)^{2}}{1+{k}^{2}}+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$.
∴S△ABE=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{\frac{3+4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$×$\frac{2|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2$\sqrt{\frac{{k}^{2}(3+4{k}^{2})}{(1+{k}^{2})^{2}}}$=2$\sqrt{4-\frac{5{k}^{2}+4}{{k}^{4}+2{k}^{2}+1}}$,
令k2+1=t>1,可得f(t)=$\sqrt{4-\frac{5t-1}{{t}^{2}}}$=$\sqrt{(\frac{1}{t}-\frac{5}{2})^{2}-\frac{9}{4}}$∈(0,2).
∴S△ABE∈(0,4).
綜上可得:S△ABE∈(0,4].

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓相交弦長問題、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積計(jì)算公式、二次函數(shù)的單調(diào)性、分類討論方法、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

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