Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II） 已知b_n＞a_n，（n≥2，n∈N^*），求證：（1+）（1+）（1+）…（1+）．

Answer 1

【答案】分析：（I）直接利用，構造新等式求出求數(shù)列{a_n}的遞推公式，找到數(shù)列{a_n}的項的規(guī)律進而求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II） 先構造函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x，利用函數(shù)的單調性來對ln（1+）的通項進行放縮，再利用裂項求和法求和即可證：（1+）（1+）（1+）…（1+）．．
解答：解：（I）當n≥3時，由，
S_n-1=（n-1）a_n-1+2-，
可得，
故a_n-a_n-1=1（n≥3，n∈N⁺）．
所以a_n=
（II）設f（x）=ln（1+x）-x，則f'（x）=-1=＜0，
故f（x）在（0，+∞）上單調遞減，∴f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x
∵n≥2時，＜=，ln（1+）＜＜=-，
∴l(xiāng)n（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜-++…+=-＜．
∴（1+）（1+）（1+）…（1+）．
點評：本題考查了已知前n項和為S_n求數(shù)列{a_n}的通項公式，根據a_n和S_n的關系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解數(shù)列的通項公式．另外，須注意公式成立的前提是n≥2，所以要驗證n=1時通項是否成立，若成立則：a_n=S_n-S_n-1 （n≥1）；若不成立，則通項公式為分段函數(shù)．