Question

已知傾斜角為45°的直線l過點(diǎn)A（1，-2）和點(diǎn)B，點(diǎn)B在第一象限，|AB|=3

2

．
（Ⅰ）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（Ⅱ）若直線l與雙曲線C：

x2

a2

-y2=1(a＞0)相交于E、F兩點(diǎn)，且線段EF的中點(diǎn)坐標(biāo)為（4，1），求a的值．

Answer 1

分析：（I）先設(shè)直線AB方程為y=x-3，設(shè)點(diǎn)B（x，y），由

y=x-3 (x-1)2+(y+2)2=18

及B在第一象限即可求出答案．
（II）先聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，消元轉(zhuǎn)化為：(

1

a2

-1)x2+6x-10=0，再由韋達(dá)定理求解．

解答：解：（I）因?yàn)閮A斜角為45°的直線l過點(diǎn)A（1，-2）和點(diǎn)B，
所以直線AB方程為y=x-3．
設(shè)點(diǎn)B（x，y），
由題意可得：

y=x-3 (x-1)2+(y+2)2=18

，
因?yàn)閤＞0，y＞0，
所以解得x=4，y=1，
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1）．
（II）由題意可得：聯(lián)立直線與雙曲線的方程

y=x-3 x2 a2 -y2=1

，
所以可得(

1

a2

-1)x2+6x-10=0，
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
因?yàn)榫�段EF的中點(diǎn)坐標(biāo)為（4，1），
所以x1+x2=-

6a2

1-a2

=4，
所以a=2．

點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，中點(diǎn)坐標(biāo)公式與韋達(dá)定理以及兩點(diǎn)間的距離公式．