Question

函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且x≤0時(shí)，f（x）=3^x-

1

2

x+a，則函數(shù)f（x）有

 

個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，利用f（0）=0，先求出a，然后利用數(shù)形結(jié)合確定當(dāng)x＜0時(shí)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得到函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答：解：∵f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且x≤0時(shí)，f（x）=3^x-

1

2

x+a，
∴f（0）=0，即f（0）=1+a=0，
解得a=-1，
∴x≤0時(shí)，f（x）=3^x-

1

2

x-1，
∵f（0）=0，∴x=0是函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)．
根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，只需要判斷當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．
當(dāng)x＜0時(shí)，由f（x）=3^x-

1

2

x-1=0得3^x=

1

2

x+1，
分別作出函數(shù)y=3^x，y=

1

2

x+1的圖象如圖：
由圖象可知當(dāng)x＜0時(shí)，兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，
根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x＞0時(shí)，兩個(gè)函數(shù)也只有一個(gè)交點(diǎn)，
故函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)奇偶性的對(duì)稱(chēng)性判斷函數(shù)在x＜0時(shí)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合的思想去解決問(wèn)題．