Question

設△ABC的內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，已知△ABC的周長為

2

+1，且sinA+sinB=

2

sinC．
（1）求C的值；
（2）若△ABC的面積為

1

6

sinC，求角C的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正弦定理化簡sinA+sinB=

2

sinC，得到a，b和c的關系式，再由三角形的周長為

2

+1又得到a，b和c的關系式，兩者聯(lián)立即可求出c的值；
（2）由三角形的面積表示出三角形ABC的面積，讓其等于

1

6

sinC，化簡后得到ab的值，由（1）中求出的c的值根據(jù)周長求出a+b的值，然后由余弦定理表示出cosC，變形后把a+b，ab和c的值代入即可求出cosC的值，根據(jù)C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)．

解答：解：（1）sinA+sinB=

2

sinC及正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，
得：a+b=

2

c，
∵a+b+c=

2

+1，
∴

2

c+c=

2

+1，
∴c=1；
（2）∵

1

2

absinC=

1

6

sinC，
∴ab=

1

3

，
∵c=1，∴a+b=

2

，
由余弦定理得：
cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

(a+b)2-2ab-c2

2ab

=

2-2× 1 3 -1

2× 1 3

=

1

2

，又B∈（0，180°），
所以C=60°．

點評：此題考查學生靈活運用正弦、余弦定理化簡求值，靈活運用三角形的面積公式化簡求值，是一道中檔題．